BERNOULLI-Experiment

Ein Zufallsversuch mit nur zwei möglichen Ergebnissen heißt BERNOULLI-Experiment oder BERNOULLI-Versuch.

Die beiden Ergebnisse eines BERNOULLI-Versuches bezeichnet man als Treffer oder Erfolg bzw. als Niete oder Misserfolg.

Bei einem BERNOULLI-Experiment besteht die Ereignismenge \(\Omega \) also nur aus zwei Elementen: \(\Omega = \left\{ {{\rm{Treffer}}\;;\;{\rm{Niete}}} \right\}\) bzw. \(\Omega = \left\{ {{\rm{Erfolg}}\;;\;{\rm{Misserfolg}}} \right\}\).

Die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer, die sogenannte Trefferwahrscheinlichkeit oder Erfolgswahrscheinlichkeit bezeichnet man meist mit dem Buchstaben \(p\), die Wahrscheinlichkeit für eine Niete, die sogenannte Nietenwahrscheinlichkeit oder Misserfolgswahrscheinlichkeit bezeichnet man meist mit dem Buchstaben \(q\). Hierbei gilt – da es nur zwei mögliche Ergebnisse gibt – der Zusammenhang \[q=1-p\]

Beispiel 1: Münzwurf: \(\Omega = {\rm{\{ Kopf}}\;{\rm{;}}\;{\rm{ Zahl\} }}\)

Beispiel 2: Funktionstest: \(\Omega = \{ {\rm{geht}}\;;\;{\rm{geht}}\;{\rm{nicht}}\} \)

Beispiel 3: Urnenmodell: \(\Omega {\rm{ }} = {\rm{ \{ weiß}}\;{\rm{;}}\;{\rm{nicht}}\;{\rm{weiß}}\} \)

Beispiel 4: Würfeln: \(\Omega {\rm{ }} = {\rm{ \{ 6}}\;{\rm{; Nicht - 6\} }}\)

BERNOULLI-Kette

Wird ein BERNOULLI-Versuch n-mal durchgeführt und ändert sich die Trefferwahrscheinlichkeit \(p\) und damit auch die Nietenwahrscheinlichkeit \(q\) in den einzelnen BERNOULLI-Versuchen nicht, so spricht man von einem n-stufigen BERNOULLI-Versuch oder einer n-stufigen BERNOULLI-Kette.

Beispiel 1: 2-maliger Münzwurf mit der gleichen Münze: \(\Omega = {\rm{\{ {\rm K}K}}\;{\rm{; KZ}}\;{\rm{;}}\;{\rm{ZK}}\;{\rm{;}}\;{\rm{ZZ\} }}\)

Beispiel 2: Funktionstest bei zwei Modellen einer Serie: \(\Omega = {\rm{\{ gg}}\;{\rm{;}}\;{\rm{gn}}\;{\rm{;}}\;{\rm{ng}}\;{\rm{;}}\;{\rm{nn\} }}\)

Beispiel 3: 2-maliges Ziehen aus einer Urne mit Zurücklegen: \(\Omega {\rm{ }} = {\rm{ \{ ww}}\;{\rm{;}}\;{\rm{wn}}\;{\rm{;}}\;{\rm{nw}}\;{\rm{;}}\;{\rm{nn\} }}\)

Beispiel 4: 2-maliges Würfeln eines Würfels oder gleichzeitiges Würfeln von 2 Würfeln: \(\Omega {\rm{ }} = {\rm{ \{ 66}}\;{\rm{; 6n}}\;{\rm{;}}\;{\rm{n6 ;}}\;{\rm{nn\} }}\)